根轨迹绘制

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根轨迹是s域中的图形表示，它关于实轴对称。因为开环极点和零点存在于s域中，其值可以是实数或复共轭对。本章我们将讨论如何绘制根轨迹。

根轨迹绘制规则

遵循以下规则绘制根轨迹：

规则1 − 在‘s’平面上定位开环极点和零点。

规则2 − 确定根轨迹分支的数量。

我们知道，根轨迹分支始于开环极点，终止于开环零点。因此，根轨迹分支数N等于有限开环极点数P或有限开环零点数Z中的较大者。

数学上，我们可以将根轨迹分支数N写为

$N=P$ 如果 $P\geq Z$

$N=Z$ 如果 $P

规则3 − 识别并绘制实轴根轨迹分支。

如果在某一点上开环传递函数的相位角为1800的奇数倍，则该点位于根轨迹上。如果在实轴上某点左侧存在奇数个开环极点和零点，则该点位于根轨迹分支上。因此，满足此条件的点分支为根轨迹分支的实轴。

规则4 − 寻找渐近线的中心和角度。

如果 $P = Z$，则所有根轨迹分支都从有限开环极点开始，并在有限开环零点结束。

如果 $P > Z$，则 $Z$ 个根轨迹分支从有限开环极点开始，并在有限开环零点结束；而 $P − Z$ 个根轨迹分支从有限开环极点开始，并在无限开环零点结束。

如果 $P < Z$，则P个根轨迹分支从有限开环极点开始，并在有限开环零点结束；而 $Z − P$ 个根轨迹分支从无限开环极点开始，并在有限开环零点结束。

因此，当 $P \neq Z$ 时，一些根轨迹分支趋于无穷大。渐近线给出了这些根轨迹分支的方向。渐近线在实轴上的交点称为中心。

我们可以使用以下公式计算中心 α：

$\alpha = \frac{\sum 有限开环极点的实部\:-\sum 有限开环零点的实部}{P-Z}$

渐近线角度 θ的公式为

$$\theta=\frac{(2q+1)180^0}{P-Z}$$

其中，

$$q=0,1,2,....,(P-Z)-1$$

规则5 − 寻找根轨迹分支与虚轴的交点。

我们可以使用劳斯数组法和特殊情况(ii)计算根轨迹分支与虚轴的交点以及该点的K值。

如果劳斯数组的任何一行的所有元素都为零，则根轨迹分支与虚轴相交，反之亦然。

找到这样的一行，如果我们将第一个元素设为零，则该行的所有元素都为零。找到此组合的K值。

将此K值代入辅助方程。您将得到根轨迹分支与虚轴的交点。

规则6 − 寻找分离点和汇合点。

如果在两个开环极点之间存在实轴根轨迹分支，则这两个开环极点之间将存在一个分离点。

如果在两个开环零点之间存在实轴根轨迹分支，则这两个开环零点之间将存在一个汇合点。

注意 − 分离点和汇合点仅存在于实轴根轨迹分支上。

按照以下步骤查找分离点和汇合点：

从特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$ 中写出关于 $s$ 的 $K$。

对 $K$ 关于 $s$ 求导，并使其等于零。将这些 $s$ 值代入上述方程。

$K$ 值为正的 $s$ 值是分离点。

规则7 − 寻找起始角和到达角。

分别可以在复共轭开环极点和复共轭开环零点处计算起始角和到达角。

起始角 $\phi_d$ 的公式为

$$\phi_d=180^0-\phi$$

到达角 $\phi_a$ 的公式为

$$\phi_a=180^0+\phi$$

其中，

$$\phi=\sum \phi_P-\sum \phi_Z$$

示例

现在让我们绘制具有开环传递函数 $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}$ 的控制系统的根轨迹。

步骤1 − 给定的开环传递函数在 $s = 0, s = −1$ 和 $s = −5$ 处有三个极点。它没有任何零点。因此，根轨迹分支的数量等于开环传递函数的极点数。

$$N=P=3$$

三个极点的位置如上图所示。$s = −1$ 和 $s = 0$ 之间的线段是实轴上根轨迹的一个分支。实轴上根轨迹的另一个分支是 $s = −5$ 左侧的线段。

步骤2 − 我们将使用给定的公式得到中心和渐近线的角度值。

中心 $\alpha = −2$

渐近线的角度为 $\theta = 60^0,180^0$ 和 $300^0$。

中心和三条渐近线如下图所示。

步骤3 − 由于两条渐近线的角度为 $60^0$ 和 $300^0$，因此两个根轨迹分支与虚轴相交。通过使用劳斯数组法和特殊情况(ii)，根轨迹分支与虚轴在 $j\sqrt{5}$ 和 $−j\sqrt{5}$ 处相交。

在极点 $s = −1$ 和 $s = 0$ 之间的实轴根轨迹分支上将存在一个分离点。按照给定的计算分离点的步骤，我们将得到 $s = −0.473$。

给定控制系统的根轨迹图如下图所示。

通过这种方式，您可以绘制任何控制系统的根轨迹图，并观察闭环传递函数极点的移动。

从根轨迹图中，我们可以知道不同类型阻尼的K值范围。

添加开环极点和零点对根轨迹的影响

通过添加开环极点和开环零点，可以将根轨迹在‘s’平面上移动。

如果我们在开环传递函数中包含一个极点，则一些根轨迹分支将移向‘s’平面的右半平面。因此，阻尼比 $\delta$ 减小。这意味着阻尼频率 $\omega_d$ 增加，时域指标如延迟时间 $t_d$、上升时间 $t_r$ 和峰值时间 $t_p$ 减小。但是，它会影响系统稳定性。

如果我们在开环传递函数中包含一个零点，则一些根轨迹分支将移向‘s’平面的左半平面。因此，它将提高控制系统的稳定性。在这种情况下，阻尼比 $\delta$ 增加。这意味着阻尼频率 $\omega_d$ 减小，时域指标如延迟时间 $t_d$、上升时间 $t_r$ 和峰值时间 $t_p$ 增加。

因此，根据要求，我们可以将开环极点或零点包含（添加到）传递函数中。

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